11.  Newton近似

引き続き捩率無し, ζ=−η で話を進める. 計量(の成分)が

|−η gab−δab|∼ |g0a|∼∂0 gμν∼ |η g00−1|2∼ 0

を満たし, かつ重力源である質点が静止しているとみなせるとき, Newton的な重力場の方程式に一致することを見る.

まず η =gμνvμ vν∼ g00(v0)2 から v0∼(η g00)−1/2 を得る. 測地線の方程式は

dvadx0=1v0dvadτ=−1v0Γaμνvμ vν∼ −Γa00v0∼ −Γa00=Fa

F∼ − grad(12η g00) は単位質量あたりの重力を表す. 電磁気で言う電場を意味する量である. ここから η g00=1+2φ としたときの φ がNewton的なポテンシャルを表すことが推測できる.

続いてEinstein方程式の両辺のtraceをとって

Rμν=κ(Tμν−1n−2gμνT)

のように書き直してから近似操作に入る. それぞれ

R00=Rμ0μ 0∼ ∂a Γa00∼−divF

T=gμνTμν∼ g00T00 ,  T00∼ η mδn−1(x)

T00−1n−2g00T∼1−1n−2g00g00T00∼n−3n−2T00 ∼η mn−3n−2δn−1(x)

となる. よってGaussの法則型の方程式

divF=−κ mn−3n−2δn−1(x)

を得る. 直ちに n−1 次元球対称解が求まり,

Fr=−n−3Ωn−2(n−2)κ mrn−2

Ωn−2 は n−2 次元立体角で

Ωn−2= 2n/2π(n−2)/2/(n−3)!!(n even) 2π(n−1)/2/(n−12)!(n odd)

特に n=4 のとき κ =8π G ( G はNewton定数).