2.  余接空間

TMp に双対な空間(余接空間) T*Mp を導入しよう. 双対という言葉は, 接空間のベクトル場(接ベクトル場)と余接空間のベクトル場(余接ベクトル場)の組を実数に対応付けられるという意味で用いている.

T*Mp の基底 θi との間に, 内積

⟨θi|ej⟩=δji ,  ⟨ · |ei⟩θi=ei⟨θi| · ⟩=1

が定義される. 同様にして余接空間の座標基底 dxμ も導入しておこう.

⟨ dxμ|∂ν⟩=δνμ ,  ⟨ · |∂μ⟩ dxμ=∂μ·⟨ dxμ| · ⟩=1

3.  計量

計量テンソル場 g∈ T*Mp× T*Mp を

g(ei,ej)=ηij=diag(η,ζ,…,ζ)

のように定義する. ここで組 (η,ζ) は, (+,+), (+, − ), ( − ,+) のいずれかの符号をとる. θi で表せば

g=ηijθi⊗θj

これに対して計量の逆 g−1=ηijei⊗ej  (ηij=ηij) も導入しておく.

座標基底を用いて g(∂μ,∂ν)=ηijθμiθνj=gμν,  g−1(dxμ,dxν)=ηijeiμ ejν=gμν としたときの gμν もまた g と同様に, 計量(計量テンソル場)と呼ばれる. 重力場と言うこともある. 明らかに

ηikηkj=δji ,  gμρgρν=δνμ

である. 計量の行列式は g=det(gμν)=ηζn−1(det(θμi))2=ηζn−1(det(eiμ))−2=det(gμν)−1 となる.

ベクトル場 A, B の内積は

g(A,B)=ηijAiBj=gμνAμ Bν

のように定義される. 双対ベクトル場 α には計量によって α′=g−1(α, · ) で得られるベクトル場 α′ が対応する. つまり双対ベクトル場 α とベクトル場 A の内積はベクトル場 α′, A の内積と同等である:

⟨α|A⟩=g(α′,A)