10.  Einstein方程式

捩率はないとして重力場の作用を考えていこう. ここではMinkowski時空のみを扱いたいため, ζ=−η とする. 重力場においてはEinstein-Hilbert作用, 物質場として質点の作用

Sg=−η2κ∫ dnx η g gμνRμν Sm=−m∫ dτ

を用いる. ここで Rμν=Rρμρν, dτ2=η gμνdxμ dxν>0 である. まず Sg の変分は δ g=ggμνδ gμν , δ gμν=−gμαgνβδ gαβ , δ Rμν=2∇[ρδΓρμ]ν などを用いて

δ Sg=ηκ∫ dnx ∂μ(η g gσ[μδΓν]νσ)−η2κ∫ dnx η gRμν−12gμνRδ gμν

但し R=gμνRμν である. 次に Sm は δ dτ=−12η vμ vν dτδ gμν, vμ=gμνdxν/dτ より

δ Sm=η m2∫ dnx∫ dτ  vμ(τ) vν(τ)δn(x−z(τ))δ gμν

ここで z(τ) は質点の軌跡である. よってエネルギー運動量テンソル

Tμν=2η gδ Smδ gμν=η m∫ dτ  1η g(x)vμ(τ) vν(τ)δn(x−z(τ))

を得る. こうしてEinstein方程式

Rμν−12gμνR=ηκ Tμν

が導かれる.