∇μ=∇∂μ と書くことにすれば, ∇X=Xμ∇μ となり, 普通の微分を拡張したものとして自然な表記 ∇Xf=Xμ∇μ f=Xμ∂μ f が出来る.

こうして一般のベクトル場 A の共変微分

∇μA=(∂μ Ai+ωijμ Aj)ej

を得る. 混乱するかと思うが, (∇μA)i の意味で ∇μ Ai と書く場合が多々ある.

θi に対する共変微分は, ⟨θi|ej⟩=δji より

∇μθi=−ωijμθj

座標基底に対する共変微分を

∇μ∂ν=Γρμν∂ρ

とすれば,

∇μ A=(∂μ Aν+ΓνμρAρ)∂ν

となる. ここでも (∇μ A)ν の意味で ∇μ Aν と書く場合があることに注意しよう.

ωijμ, Γρμν の間には ∇ei=∇μ(eiμ∂μ) から

ωijμ=θρi(∂μ ejρ+Γρμνejν) Γρμν=eiρ(∂μθνi+ωijμθνj)

という関係が得られる.