5.  Lie微分

再び滑らかな曲線を考え, 曲線上の2点 xμ, yμ=xμ+λ Xμ(x), (|λ|« 1) におけるベクトル場 A(x) と A(y) の変化率を, 微小平行移動とは違った方法で定義しよう.

今度は y 上のベクトル場 A(y) に等しい x 上のベクトル場 A˜(x) を見つける. ここで "等しい" とは, 関数 f(y) に対して同一の値

A˜(x)f(y(x))=A(y)f(y)

を与えるという意味である.

座標基底を用いれば, 異なる2点における座標変換を考えればよいので

A˜(x)=A(y)|y=x+λ X = ∂ xμ(y)∂ yνAν(y)y=x+λ X∂∂ xμ

こうしてLie微分が

𝔏XA=limλ→ 01λ∂ xμ(y)∂ yνAν(y)y=x+λ X−Aμ(x)∂μ

と定義される. 具体的に見てみると

𝔏XA=limλ→ 01λ(δνμ−λ∂ν Xμ)(Aν+λ Xρ∂ρ Aν)−Aμ∂μ =(Xν∂ν Aμ−Aν∂ν Xμ)∂μ

これから 𝔏AX=−𝔏XA ,  𝔏A+B=𝔏A+𝔏B ,  𝔏X(fA)=(Xf)A+f𝔏XA→𝔏Xf=Xf そして  𝔏fXY=f𝔏XY−(Yf)X などの性質を持つことが分かるであろう.

ところで, 関数 f にベクトル場 X, Y を順に作用させると

Yμ∂μ(Xν∂ν f)=Yμ(∂μ Xν)∂ν f+Yμ Xν∂μ∂ν f

のようになり, ベクトル場2つの作用は第2項目のためベクトル場とはならない. これを反対称化したものはベクトル場となる. 即ち, 交換子

[X, Y]f=X(Yf)−Y(Xf) =(Xν∂ν Yμ−Yν∂ν Xμ)∂μ f

はベクトル場となる. これはLie微分と一致する:

𝔏XY=[X,Y]

特に座標基底に対して 𝔏X∂μ=−(∂μ Xν)∂ν となるので, 双対基底に対しては 𝔏Xdxμ=(∂ν Xμ)dxν となる. よって双対ベクトル場に対するLie微分

𝔏Xα=(Xν∂ναμ+αν∂μ Xν)dxμ

を得る.