8.  接続係数の表式

この節では, ηij, ηij で添字 i,j,k,… の上げ下げを, gμν,  gμν で添字 μ,ν,ρ,… の上げ下げをそれぞれ行うものとする.

微小平行移動に内積を保存するという条件を課そう. これは g∥=g 即ち  ∇μg=0 を意味し, 共変微分は計量と両立する(compatible)と言う. 計量 g=gμνdxμ⊗ dxν に ∇μ を作用させれば

Γμ,ρν+Γν,ρν=∂ρ gμν

を得る. 今, Γρ,μν=Sρ,μν+12Tρ,μν のように  μ,ν に関して対称部分 Sρ,μν=Γρ,(μν) と反対称部分 12Tρ,μν=Γρ,[μν] に分ければ, 上の関係式は

Sμ,ρν+Sν,ρν=∂ρ gμν−T(μ|,ρ|ν)

これを全ての添字に関して巡回的に置換し, 足し引きすれば S が求まり,

Γρ,μν=Γ(0)ρ,μν−T(μ,ν)ρ+12Tρ,μν

を得る. ここで

Γ(0)ρ,μν=12(∂μ gνρ+∂ν gμρ−∂ρ gμν)

で定義される Γ(0)ρμν をChristoffel記号と呼ぶ.

同様にして, g=ηijθi⊗θj の共変微分をとって得られる関係式

ωijμ+ωjiμ=0

と捩率の定義に eiμejν を乗じたもの

eiμ ejν Tkμν=2e[iμ ej]ν (∂μθkν+ωklμθνl)

をやはり i,j,k に関して巡回的に置換したものを足したり引いたりすれば

ωijμ=−e[iρej]σθμi∂ρ θσk+e[i|ν∂μ θ|j]ν−e[i|ν∂ν θ|j]μ+e[iνTj]νμ+12θμk eiρ ejσ Tk,ρσ

を得る.