一般相対論の数学的準備など

tomocci

平成18年7月5日

曲がった時空における数学などを大雑把に導入する. 数学的に厳密な定義はしない. 微分形式やベクトル束にも触れない. また, 計算ミスはご愛敬.¥ 項目 : 接空間, 余接空間, 計量, 共変微分, Lie微分, 捩率と曲率, 接続形式の表式, 測地線の方程式, Einstein方程式, Newton近似.

1.  接空間

時空 M を n 次元C ∞ 級微分可能多様体であると仮定する.

実数 s で径数付けられた, M 上の点 p を通る滑らかな曲線を考える. M 上の関数 f の, 点 p における方向微係数は

ddspf=dxμds∂μp f

であるが, この写像

X|p=Xμ∂μ|p=dxμds∂μp

を点 p における接ベクトルとして定義する. 上記の場合 ∂μ が基底で特に座標基底と呼ばれ, Xμ は座標基底における成分である. 本稿では, 座標基底を除いてベクトル及びテンソルを太字で表記する.

点 p を通る滑らかな曲線が作る接ベクトルの集合は, ベクトル空間を成す. これを接空間 TMp と呼ぶ. M 上の滑らかな関数 F(M) に対して, 滑らかなベクトル X(F(M)) が定義できる. これをベクトル場と呼ぶ.

TMp における基底を

ei=eiμ∂μ

とする. 任意のベクトル場 a は a=aiei と書ける.