ξ, ∂ξ についてまとめると

δ SM=∫ dnx ∂μ−ξν(Θνμ−g−Tνμ−g)−ε∂αξν Aν∂ℒM∂∂μ Aα −ξν∇μ(Tνμ−g)

ここで簡単のため物質場には重力場の微分は含まないとした. こうして

0=∂μξν(Θνμ−g−Tνμ−g)+ε∂αξν Aν∂ℒM∂∂μ Aα 0=ξν∇μ(Tνμ−g)

に辿り着く. 2番目の式は所謂エネルギー保存則 ∇μ Tνμ=0 を与える. 最初の式は更に全微分を実行して

0=ξν∂μ(Θνμ−g−Tνμ−g) +∂μξνΘνμ−g−Tνμ−g−ε∂ρ Aν∂ℒM∂∂ρ Aμ −ε∂α∂βξν Aν∂ℒM∂∂(α Aβ)

となるので, ξ, ∂ξ そして ∂∂ξ がそれぞれ任意の微小量であることから

    0=∂μ(Θνμ−g−Tνμ−g) 0=Θνμ−g−Tνμ−g+ε∂ρ Aν∂ℒM∂∂ρ Aμ     …(6) 0=Aν∂ℒM∂∂(α Aβ)     …(7)

が得られる. 平坦な時空におけるエネルギー運動量保存則には次の

0=∂μ(Θνμ+∂ρ fν[μρ])

のような全微分項 ∂ρ fν[μρ] を許す任意性があった事を考慮すると, (7)を考慮に入れた上での(6)は Θμν と Tμν が本質的に同一の量であると主張している事がわかる.

次に, その全微分項について調べていこう. スカラー場の場合, (6)から直ぐに

Tνμ=Θνμ

が結論付けられる. ベクトル場の場合はどうか. (7)を考慮して, (6)は

Tνμ−g=Θνμ−g−∂ρ Aν∂ℒM∂∂μ Aρ =(∂ν Aρ−∂ρ Aν)∂ℒM∂∂μ Aρ−δνμℒM+Aν∂ℒM∂ Aμ