2.3.  Eular-Lagrange方程式及び連続方程式

以上を用いて, 変分及び座標変換における作用汎関数の変化を調べよう. (2)は

S′= ∫ dny ℒ′(y) = ∫ dnx (1+∂μξμ)(ℒ′(x)+ξμ∂μℒ′(x)) = ∫ dnx (ℒ′(x)+(∂μξμ)ℒ′(x)+ξμ∂μℒ′(x)) = S+∫ dnx (δ¯ℒ+∂μ(ξμℒ))

よって δ S=S′−S は

  δ S = ∫ dnx δ¯ℒ+∂μ(ξμℒ) = ∫ dnx δ¯Φa∂ℒ∂Φa+∂μδ¯Φa∂ℒ∂∂μΦa+∂μ(ξμℒ) = ∫ dnx ∂μδ¯Φa∂ℒ∂∂μΦa+ξμℒ+δ¯Φa∂ℒ∂Φa−∂μ∂ℒ∂∂μΦa     …(3)

δ¯ を元に戻して

δ S= ∫ dnx ∂μδΦa∂ℒ∂∂μΦa−ξν∂νΦa∂ℒ∂∂μΦa−δνμℒ +δ¯Φa∂ℒ∂Φa−∂μ∂ℒ∂∂μΦa = ∫ dnx ∂μ fμ+δ¯Φa[ℒ;Φ]a

が得られる. ここで

  [ℒ;Φ]a =∂ℒ∂Φa−∂μ∂ℒ∂∂μΦa fμ=δΦa∂ℒ∂∂μΦa−ξνΘνμ−g Θνμ−g=∂νΦa∂ℒ∂∂μΦa −δνμℒ     …(4)

という記号を用いた.

最小作用の原理に基づけば, δ S=0 である. 一般に作用汎関数の変化量が δ S=∫ dnx (∂μ Xμ+Y) のように書ける時, ξ, δΦ を共に境界面でゼロになるように選べば Y=0 となり, 場が Y=0 を満たす時, 任意の ξ, δΦ に対して ∂μ Xμ=0 となる. 具体例を見ていこう.