3.  エネルギー運動量テンソル

ここで疑問に持つのは, (4)で定義される Θμν=gνρΘμρ と(5)で定義される Tμν の関係である. 両者は共にエネルギー運動量テンソルを名乗っているが, 定量的に同じものなのであろうか. 実際に確かめてみよう.

重力場 gμν そして物質場としてスカラー場 φ とベクトル場 Aμ を考える.

微小座標変換 x→ y=x+ξ によって場はそれぞれ

δ¯φ=−ξμ∂μφ δ¯Aμ=−(∂μξν) Aν−ξν∂ν Aμ δ¯gμν=2∇(μξν)=2gρ(μ∂ρξν)−ξν∂ν gμν

と変換を受ける. ∇μ は重力場に関する共変微分で, ∇μ gνρ=0 という性質を持つ. スカラー場とベクトル場を別々に考えるのは面倒なので,

δ¯Aμ=−ε(∂μξν) Aν−ξν∂ν Aμ

のように一筆で表すことにしよう. ベクトル場を考えるときは ε=1 にし, スカラー場を考えるときは ε=0, Aμ→φ にすればよい.

重力場と物質場のLagrangianをそれぞれ ℒG, ℒM とする. ここで言う物質場とは重力場以外の場全体の事ではなく, その内の個々の場を指している. 場はEular-Lagrange方程式

[ℒG;g]μν+[ℒM;g]μν=0 ,  [ℒM;A]μ=0

を満たし複雑に関係しあっているが, 座標変換によって重力場及び物質場の作用汎関数はそれぞれ独立に不変となる. 今興味あるのは物質場の作用汎関数 SM の座標変換における振る舞いである. 物質場の作用汎関数の変化分は(3)から

δ SM=∫ dnx ∂μδ¯Aα∂ℒM∂∂μ Aα+δ¯gαβ∂ℒM∂∂μ gαβ+ξμℒM +δ¯Aα[ℒM;A]α+δ¯gαβ[ℒM;g]αβ =∫ dnx ∂μ−(ε∂αξν Aν+ξν∂ν Aα)∂ℒM∂∂μ Aα +2∇αξβ∂ℒM∂∂μ gαβ+ξμℒM+2∇μξν[ℒM;g]νμ

途中で物質場に対するEular-Lagrange方程式を用いた. ξ に対する微分が最も少なくなるように部分積分すれば

δ SM=∫ dnx ∂μ−(ε∂αξν Aν+ξν∂ν Aα)∂ℒM∂∂μ Aα +2∇αξβ∂ℒM∂∂μ gαβ+ξμℒM+2ξν[ℒM;g]νμ−2ξν∇μ[ℒM;g]νμ