現実的にベクトル場としてゲージポテンシャルを考えているので, 一般にYang-Mills場を考えれば, ゲージ変換

δ Aμa=−∂μλa−fabcAμbλc

における連続方程式

0=∂μδ Aνa∂ℒM∂ ∂μ Aνa

から次の恒等式

0=λc fabcAμb∂ℒM∂ Aμa+∂μ Aνb∂ℒM∂ ∂μ Aνa 0=∂μ λa∂ℒM∂ Aμa−fabcAνb∂ℒM∂ ∂μ Aνc 0=∂μ∂νλa∂ℒM∂ ∂(μ Aν)a

を得る. 微小座標変換だけでなくゲージ変換の対称性からも, 運動項の対称な成分は禁止される事にも注意しよう.

こうして

Tνμ−g=(∂ν Aρa−∂ρ Aνa+fabcAνb Aρc)∂ℒM∂∂μ Aρa−δνμℒM

を得る.

4.  終わりに

この原稿を書くにあたって

の第5章「不変変分論」を大いに参考とした. より一般的な議論, ないしは重力場における議論などに興味をもたれた方はそちらを読んで頂きたい.