2.  Noetherの定理

2.1.  変分の性質

微小座標変換

xμ→ yμ=xμ+ξμ(x)

を考える. 逆  xμ=yμ−ξμ(x(y)) より, 微分は1次の微小量で

∂μy=∂ xν∂ yμ∂ν=∂μ−(∂μξν)∂ν

となる.

場の関数 F(x)≡ F(Φ(x)) の座標変換を伴う変分を考えよう.

F′(y)=F+δ F

簡単のため引数が x の時で混乱の生じない場合は省略する. 両辺を微分すれば

∂μy F(y)=(∂μ−(∂μξν)∂ν)(F+δ F) =∂μF+∂μδ F−(∂μξν)∂νF

一方, F(x) として ∂μ F(x) を選んでも良いのだから

∂μy F′(y)=∂μ F+δ ∂μ F

と一致するはずである. これは ∂μ と δ が交換しない, 即ち

[∂μ,δ]=(∂μξν)∂ν

となることを意味する. そこで

δ¯=δ−ξν∂ν

を導入すれば

[∂μ,δ¯]=0

となり, 両者は可換となる.

さてこの δ¯ であるが,

F′(x)=F′(y)−ξμ∂μy F′(y) =F+δ F−ξμ∂μ F =F+δ¯F

のように, 同一座標値における場(の関数)の変分として現れることが分かる.