2.2.  Jacobian

次に, 体積要素 dny を見てみよう.

dny=dnx det∂ yμ∂ xν=dnx det(δνμ+∂νξμ)

ここで実数値を成分とする任意の n 次正方行列 A に対して行列式が

det(A)δkl=∑pkA˜kpkAlpk=det(A)∑i(A−1)ikAli A˜kpk=∏i≠ k∑piεp1… pn∏i≠ kAipi =∂∂ Akpkdet(A)

のように定義されるので( ε は完全反対称行列で ε1… n=1 )

det(A+δ A)=det(A)+∑k,lδ Akl∂∂ Akldet(A) =det(A)1+∑k,lδ Akl(A−1)lk

が成り立ち

dny =dnx (1+∂μξμ)

となる.