2.3.1.  Eular-Lagrange方程式

今, ξ=0 とし, 境界で δΦ=0 であるような任意の変分を考えると, Eular-Lagrange方程式

[ℒ;Φ]a=0

を得る. これが場 Φa の振る舞いを定める.

2.3.2.  連続方程式

Eular-Lagrange方程式を満たすような場に対して任意に ξ と δΦ をとったとき, 連続方程式

∂μ fμ=0

を得る.

時空が平坦で, かつ ξ が座標値に依らず任意の一定値をとるとき, 場は変換を受けず( δΦ=0 ), 連続方程式は ξν∂μΘνμ=0 を与える. ξ は任意なので

∂μΘνμ=0

となり, これは場のエネルギーや運動量の保存則を与えるため, Θνμ はエネルギー運動量テンソルと呼ばれる.

2.3.3.  Einstein方程式

重力場に関するEular-Lagrange方程式も, 重力場 gμν で変分をとることによって得ることが出来る. 重力場のLagrangianには場の高階微分が含まれているため, これまでの議論を適用させるためにはそれを全微分項に避けておく必要があるのだが, 冗長になるために省略する.

重力場のLagrangian (の高階微分を含まない部分)を ℒG , 物質場のLagrangianを ℒM と置けば, Eular-Lagrange方程式

Rμν−12gμνR=κ Tμν

を得る. ここで

  [ℒG;g]μν=−12κ(Rμν−12gμνR)−g [ℒM;g]μν=12Tμν−g     …(5)

であり, Tμν もまたエネルギー運動量テンソルと呼ばれる.