近日点移動

tomocci

平成18年3月13日

Schwarzshild計量における質点の運動を近似から求め, 近日点移動を計算する. 本稿もLandau¥cite{landau:1994aa:bk}に基づく.

1.  Schwarzshild時空

一般相対論的な質量 m の質点の運動を記述する作用は, 計量を

  ds2=gμνdxμ dxν     …(1)

として

S=−m∫ ds

で与えられる. 変分

δ S=−mgμνdxνdsδ xμ−m∫dds−gμνdxνds+12∂μ gνρdxνdsdxρdsδ xμ ds =−mgμνdxνdsδ xμ+m∫ gμνd2xνds2+Γνρσdxρdsdxσdsδ xμ ds

によって測地線の方程式が得られるが, ここでは運動量

pμ=−mgμνdxνds=(−E,p)

に着目しよう. 運動量は(1)から

  m2=gμνpμ pν     …(2)

を満たす.

(1)の具体的な形として, Schwarzshild時空

  ds2=fdt2−f−1dr2−r2(dθ2+sin2θ dφ2)     …(3)