2.1.  Newton重力

まず Δ=0 のときの解を求めてみよう.

pρ(Δ=0)2 = 2mEN+rgρ−l2ρ2 = l2e2ρ02−1ρ−1ρ02

ここで

1ρ0=rgm22l2 ,  e2ρ02=1ρ02+2mENl2

と置いた. 近日点 ρ− と遠日点 ρ+ は

ρ±=ρ01∓ e

作用は変数分離できて

S=−ENt+lϕ±∫ dρ pρ

ϕ は角運動量に対する回転角である. 回転角と半径の関係は

const.=∂ S∂ l=ϕ±∂∂ l∫ dρ pρ

から求めることが出来る. よって

∫ dϕ= ±∫ d1ρ−1ρ0e2ρ02−1ρ−1ρ02

これは変数変換 1/ρ−1/ρ0=(e/ρ0)cosθ をすれば容易に積分でき,

eρ0cosϕ = 1ρ−1ρ0

を得る. これより軌道は楕円を描くことが分かる. 従って長半径 a は

a=ρ++ρ−2=ρ01−e2

と表される.