3.  曲がった時空におけるMaxwell方程式

本稿の主題である電磁場の方程式を見てみよう。局所慣性系においては

∂ν Fμν=Jμ

である。 Jμ は4元電流で、 Fμν は場の強さ(field strength)と呼ばれる電場と磁場を一筆で表したものである。場の強さはゲージポテンシャル Aμ によって Fμν=∂μ Aν−∂ν Aμ と表され、Maxwell方程式は

Jμ=∂ν∂μ Aν−∂ν∂ν Aμ =∂μ(∂ν Aν)−∂ν∂ν Aμ

となり、Lorentzゲージ ∂μ ALμ=0 ではd'Alembert方程式となる。

さて、これを最小結合によって一般相対論的に直そう。

Fμν=∇μ Aν−∇ν Aμ

に対して

  ∇ν Fμν=Jμ     …(1)

ゲージポテンシャルで書き直せば

  Jμ=∇ν∇μ Aν−∇ν∇ν Aμ =gμρ(∇ν∇ρ−∇ρ∇ν)Aν+∇μ(∇ν Aν) −∇ν∇ν Aμ =gμρRνσνρAσ+∇μ(∇ν Aν) −∇ν∇ν Aμ =Rνμ Aν+∇μ(∇ν Aν) −∇ν∇ν Aμ     …(2)

となり、Ricciテンソルが顕になり、"Lorentzゲージ" ∇μ ALμ=0 においては

  Rνμ ALν −∇ν∇ν ALμ = Jμ     …(3)

となる。

さて、これらを局所慣性系に持っていったらどうであろうか。一見したところ場の強さに関する方程式(1)、ゲージポテンシャルに関する方程式(2)はそれぞれ

  ∂ν Fμν=?Jμ Rνμ Aν+∂μ(∂ν Aν)−∂ν∂ν Aμ=?Jμ     …(4)

になるように思われる。場の強さに対しては重力は消えているが、ゲージポテンシャルに対して消えていない。別の言い方をすれば、場の強さは等価原理を満たしているが、ゲージポテンシャルは満たしていないように思われる。このようなことがあっていいのであろうか。