2.  最小結合

それではどのように重力相互作用を記述するのかというと、最小結合(minimal coupling)と呼ばれる指導原理に基づいて行われる。微分演算子 ∂μ=∂/∂ xμ を共変微分 ∇μ に置き換えるだけの操作である。共変微分はスカラー場 φ 及びベクトル場 Aμ に対して

∇μ φ=∂μ φ ,  ∇μ Aν=∂μ Aν+ΓμρνAρ

のように作用し、 ∇μ Aν は2階のテンソル場として振舞う。Christoffel記号 Γνρμ

Γνρμ=12gμσ(∂ν gρσ+∂ρ gνσ−∂σ gνρ)

は、計量の1階微分との間に

Γνρμ=0 ⇔ ∂σ gαβ=0

という関係があり、適当な座標変換によって局所慣性系に移ったとき、 Γνρμ はゼロとなり、共変微分は普通の微分となるのである。

また、共変微分は普通の微分と違い一般に非可換である。つまりベクトル場 Xμ に対して (∇μ∇ν−∇ν∇μ)Xρ≠ 0 であり、そのお釣りの部分は

(∇μ∇ν−∇ν∇μ)Xρ=RρσμνXσ

のようにRiemannテンソルとして定義される。