2.  作用の変数分離解

前節の結論(5)から作用の解を求め, 運動方程式の積分形を導く. 自由度 s の系において, エネルギー E 及び正準運動量 p2,…,ps が保存量であるとき, 上の結論を利用して残りの1自由度 (q1,p1) を解くことが出来る.

∂ S∂ qi=pi=const.  (i=2,… s+1)

ここで qs+1=t, ps+1=−E と置いた. よって

  S=∑i=2s+1piqi+∫ dq1 ∂ S1∂ q1     …(6)

のように変数分離型で書き表すことが出来る. Hamilton-Jacobi方程式

ps+1+Hq1,…,qs,∂ S1∂ q1,p2,…,ps=0

を逆に解いた

∂ S1∂ q1=P1(q1,p2,…,ps+1)

を(6)に代入すると

S=∑i=2s+1piqi+∫ dq1 P1(q1,p2,…,ps+1)

(5)より

const.=qi+∂∂ pi∫ dq1 P1(qs,p2,…,ps+1)  (i=2,…,s+1)

を得る. 従って

∫ dqi=−∂∂ pi∫ dq1 P1(qs,p2,…,ps+1)  (i=2,…,s+1)

のように, 物体の運動を積分形で表現する事が出来る.

¥bibliographystyle{unsrt}¥bibliography{../jp_bib}