作用の変数分離解と運動方程式の積分形

tomocci

平成18年3月13日

Landau, Lifshitzの"場の古典論"¥cite{landau:1994aa:bk} § 101に現れる, 作用の変数分離解を用いて運動を記述する方法. "力学"¥cite{landau:1994ab:bk}の § 47, 48で詳しく解説されているのだが, 最近は教科書の解説書が出版されるような時代である. 私もそれに便乗して書くことにした.

1.  作用と保存量

自由度 s の系 (q1,…,qs,p1,…,ps) 及びそのHamiltonian H(q,p,t) における作用 S=∫ pdq−∫ Hdt から得られる関係

p=∂ S(q,t)∂ q ,  −H(q,p,t)=∂ S(q,t)∂ t

を用いて作られる, 作用 S を求める方程式

  ∂ S∂ t+Hq,∂ S∂ q,t=0     …(1)

をHamilton-Jacobi方程式と呼ぶ. この形式解には s+1 個の積分定数 α1,…,αs と A が現れる. (自明な系では s 個の運動量と1個のエネルギーが得られる.)これを作用 S が

  S(q,t;α,A)=f(q,α,t)+A     …(2)

のようになるように選ぶ. この節では形式解 S が ∂ S/∂ αi= const. を満たすことを証明する.

母関数を f(q,α,t) とするような正準変換 (qi,pi) → (qi′,αi) を考えよう.

S=∫ (pidqi−H(q,p,t)dt) =∫ (αidqi′−H′(q′,α,t)dt) + ∫ d(f(q,α,t)−αiqi′) =∫∂ f∂ qidqi−H′−∂ f∂ tdt+∂ f∂ αi−qi′dαi