2.  解

波動方程式(1)は非斉次方程式なので, 簡単には解けない. そこでまず通常のばねの運動にならって, 平衡点 φr(x) を調べてみよう. 但し, 冗長を避けるために x の代わりに

ξ=xl

を用いることにする. φr についての方程式はそれぞれ

kmφr′′(ξ)=g kMφr′(1)=−g φr(0)=0

である. これの解は直ちに求まり

φr(ξ)=−(M+m)gkξ+mg2kξ2

この平衡点の周りでの振動を考えよう.

Φ(ξ,t)≡φ(ξ,t)−φr(ξ)

とおけば, 斉次方程式

∂2Φ(ξ,t)∂ t2−km∂2Φ(ξ,t)∂ ξ2=0 ∂2Φ(1,t)∂ t2+kM∂ Φ(1,t)∂ ξ=0 Φ(0,t)=0

が得られる. 従って解は

    φθ(ξ,t)=φθsin(θξ)sinθkmt+δθ+φr(ξ)     …(4) φr(ξ)=−(M+m)gkξ+mg2kξ2 θtanθ=mM     …(5)

となる. θ は条件式(5)によって離散化される. φθsin(θξ) は振幅を表していて, θ が大きいところ(励起モード)では振動に節が現れる.