3.  解の極限

3.1.  第ゼロ近似

さて, 解(4)はばねの質量が小さいときを再現するであろうか. これは角振動数が θk/m→k/M になる必要があることを意味する. これは条件式(5)から, θ« 1 において

θ≅mM

が得られることから, 通常のばねの運動

φ(ξ,t)=ξφsinkMt+δ−Mgk

を再現する.

3.2.  第1近似と励起モード

m=0 近傍で θ が微小量をとることは角振動数からの要請であり, 条件式(5)にはそうでない場合も存在している. 実際 m=0 近傍は θ=nπ (n=0,1,2,…) 近傍が対応し,

θtanθ=nπ(θ−nπ)+(θ−nπ)2 +nπ3(θ−nπ)3+13(θ−nπ)4+𝒪(θ5)

と展開して n=0 に関しては4次まで, n≥ 1 に関しては2次までとってこれを解くと,

θ0=mM1−m3M ,  θn≥ 1=nπ+1nπmM−1(nπ)3m2M2

よって角振動数 ωn=θnk/m は

ω0=kM+13m ,  ωn≥ 1=nπkm+1nπmMkM+…

となる. 基底モードは錘の質量が 13m だけ増えていることに対応し, これは波動が φ(ξ,t)=ξφ(1,t) と近似できるとき, 運動エネルギーが

12Mφ˙(1,t)2+∫01dξ  12mφ˙(ξ,t)2=12M+m3φ˙(1,t)2

となることと対応している. 励起モードに関しては, 確かに m→ 0 のときは存在していない事が分かる. 基底モードとのエネルギー比は M/m のオーダーとなっているので. 通常のばねでは励起モード, つまり節が現れるような振動は実現しにくい.