この微分方程式を初期条件

dx(0)dt=vcosθ=12gt0cotθ dy(0)dt=vsinθ=12gt0 x(0)=y(0)=0

の下に解くわけだが( t0=(2v/g)sinθ 但し θ=π/4 とは限らない), 今着目している状況は空気抵抗が十分小さい場合である. 従って右辺の dx(t)/dt, dy(t)/dt を t=0 の周りで展開しよう.

dx(t)dt≅dx(0)dt+d2x(0)dt2t dy(t)dt≅dy(0)dt+d2y(0)dt2t

右辺の加速度は運動方程式より求まる.

d2x(0)dt2=−1τdx(0)dt=−gt02τcotθ d2y(0)dt2=−g−1τdy(0)dt=−g1+t02τ

よって運動方程式は

d2x(t)dt2=−gt02τcotθ1−tτ d2y(t)dt2=−g1+t02τ1−tτ

となる. こうして

x(t)=gt02tcotθ 1−t2τ+t26τ2 y(t)=gτ2tt0τ−1+t02τtτ−t23τ2

を得る.