今, 物体 $P$ が点 $A$ から点 $B$ へ運動をしたとしよう. $\text{K}$ 系において, 点 $A$ の座標を \[ (x,\ t) \] とする. 物体 $P$ が時間 $\varDelta t$ の間に $\varDelta x$ だけ動いたとすれば, 点 $B$ の座標は \[ (x+\varDelta x,\ t+\varDelta t) \]と書ける. つまり $K$ 系における物体 $P$ の速度 $v$ は \[ v=\frac{\varDelta x}{\varDelta t} \] である.
同様に, $\text{K}_0$ 系において考えよう. 点 $A$ の座標は \[ (x_0,\ t_0) \] とする. 物体 $P$ が時間 $\varDelta t_0$ の間に $\varDelta x_0$ だけ動いたとすれば, 点 $B$ の座標は \[ (x_0+\varDelta x_0,\ t_0+\varDelta t_0) \] と書ける. つまり $\text{K}_0$ 系における物体 $P$ の速度 $v_0$ は \[ v_0=\frac{\varDelta x_0}{\varDelta t_0} \] である. 座標系 $\text{K}$, $\text{K}_0$ それぞれにおけるこれらの量は, 今の段階では互いに無関係だが, $A$, $B$ 各点においてそれぞれ Lorentz変換によって結びつけれられる.
点 $A$ におけるLorentz変換は \begin{align} x=\frac{x_0+Vt_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\notag\\ t=\frac{t_0+\frac{V}{c^2}x_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\notag \end{align}
点 $B$ は \begin{align} x+\varDelta x=\frac{(x_0+\varDelta x_0)+V(t_0+\varDelta t_0)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\notag\\ t+\varDelta t=\frac{(t_0+\varDelta t_0)+\frac{V}{c^2}(x_0+\varDelta x_0)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\notag \end{align}
なので, (2)から(1)を引けば, 位置の変化量及び時間のLorentz変換 \[ \varDelta x=\frac{\varDelta x_0+V\varDelta t_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} \]
\[ \varDelta t=\frac{\varDelta t_0+\frac{V}{c^2}\varDelta x_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\notag \]
を得る. (3)を(4)で割って \[ \frac{\varDelta x}{\varDelta t} =\frac{\varDelta x_0 +V\varDelta t_0}{\varDelta t_0+\frac{V}{c^2}\varDelta x_0} =\frac{\frac{\varDelta x_0}{\varDelta t_0} +V}{1+\frac{V}{c^2}\frac{\varDelta x_0}{\varDelta t_0}} \] ここで $\text{K}$ 系, $\text{K}_0$ 系それぞれにおける物体 $P$ の速度 $v$, $v_0$ を用いれば, 速度の座標変換 \[ v=\frac{v_0+V}{1+\frac{Vv_0}{c^2}} \] を得る.
ここで, 後で使う式を挙げておこう. \[ 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{(1-v_0^2/c^2)(1-V^2/c^2)}{(1+Vv_0/c^2)^2} \] 特に $V=v_0$ のとき \[ 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{(1-v_0^2/c^2)^2}{(1+v_0^2/c^2)^2} \]
座標系間の運動と垂直な方向においては(3)にある位置の変化量とは異なり \[ \varDelta y=\varDelta y_0 \] である. 従ってこれを(4)で割れば \[ v_y=\frac{v_{y0}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{Vv_{x0}}{c^2}} \] となる. 便宜上 $x$ 方向, $y$ 方向と添字を付けた.
因みに加速度の座標変換は \begin{align} a_x&= \frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)^{3/2}}{\left(1+\frac{Vv_{x0}}{c^2}\right)^3}a_{x0}\notag\\ a_y&= \frac{1-\frac{V^2}{c^2}}{\left(1+\frac{Vv_{x0}}{c^2}\right)^2}a_{y0} -\frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)\frac{Vv_{y0}}{c^2}}{\left(1+\frac{Vv_{x0}}{c^2}\right)^3}a_{x0} \end{align} となる. これらは時間微分が \[ \frac{d}{dt}=\left(\frac{dt}{dt_0}\right)^{-1}\frac{d}{dt_0} =\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+Vv_{x0}/c^2}\frac{d}{dt_0} \] であることから求まる.