3.  解

境界条件

φ(x=0,t)=φ(x=L,t)=0

を満たす解

φn(x,t)=φnsinnπLxsinnπLvt+δn

から, 波動方程式(2)の成立条件(1)は

nπφnL« 1

となり, 振幅は制限される.

さて, この解において振動数 fn 及び波長 λn は

fn=12πnπLv=n2TmL λn=12πnπL−1=2Ln

であるので, 仮に, 張力がばねの様に伸びに比例( T=kΔ L )するのであれば

fn=n2kmΔ LL0+Δ L

となり, 確かに伸びが大きいほど振動数は増加する事になる.

また, モノコードあるいはギターの弦のように, 境界を調節する事によって振動数を見るものであるならば, 質量よりも質量線密度 σ=m/L を使う方が良いので, 振動数は

fn=n2LTσ

となる.