2.  導出

質量 m , 長さ L の弦を張力 T で張る. この弦を N 等分して離散化し, N 個の微小質点各々に対して運動方程式を立て, 最後に N→∞ の極限をとることにしよう. 因みに, 特に言及せずに ` ≅ ' によって近似操作を行っている.

微小質点の質量を mi≡ m/N , 要素の間隔を li≡ L/(N−1)≅ L/N と置く. i 番目の微小質点の変位を φi(t)=φ(x,t) と書くことにすると, i± 1 番目と i 番目の微小質点の間を結ぶ線分と, 弦の平衡状態におけるそれと成す角度 θi± 1 は

tanθi± 1=1li(φi± 1−φi) =1li(φ(x± li)−φi) =±∂φ(x)∂ x+li2∂2φ(x)∂ x2+𝒪(li2).

ここで

  ∂φ(x)∂ x« 1     …(1)

という条件を課そう. すると

sinθi± 1≅ θi± 1 ≅ tanθi± 1

という近似が成立する. こうして i 番目の微小質点に働く力 Fi は

Fi=Tsinθi−1+Tsinθi+1 ≅T(tanθi−1+tanθi+1) =Tli∂2φ∂ x2

となる. 但し張力は微小質点間を結ぶ線分に平行に働き, 一定であるとした. こうして運動方程式

mi∂2φ∂ t2=Tli∂2φ∂ x2

を得るが, 係数 Tli/mi は N→∞ の極限で

TLm

つまり位相速度 v との間に

v=TLm

という関係があることから, 最終的な波動方程式

  ∂2φ(x,t)∂ t2=v2∂2φ(x,t)∂ x2,  v=TLm     …(2)

を得る.