作用の変数分離解と運動方程式の積分形

tomocci

平成18年3月13日

Landau, Lifshitzの"場の古典論"¥cite{landau:1994aa:bk} § 101に現れる, 作用の変数分離解を用いて運動を記述する方法. "力学"¥cite{landau:1994ab:bk}の § 47, 48で詳しく解説されているのだが, 最近は教科書の解説書が出版されるような時代である. 私もそれに便乗して書くことにした.

1.  作用と保存量

自由度 $s$ の系 $(q_1,\dots ,q_s,p_1,\dots ,p_s)$ 及びそのHamiltonian $H(q,p,t)$ における作用 $S=\int pdq-\int Hdt$ から得られる関係

$$p=\frac{\partial S(q,t)}{\partial q} , -H(q,p,t)=\frac{\partial S(q,t)}{\partial t}$$

を用いて作られる, 作用 $S$ を求める方程式

  $$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right)=0\text{ …(1)}$$

をHamilton-Jacobi方程式と呼ぶ. この形式解には $s+1$ 個の積分定数 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ と $A$ が現れる. (自明な系では $s$ 個の運動量と1個のエネルギーが得られる.)これを作用 $S$ が

  $$S(q,t;\alpha ,A)=f(q,\alpha ,t)+A\text{ …(2)}$$

のようになるように選ぶ. この節では形式解 $S$ が $\partial S/\partial {\alpha }_i=$ const. を満たすことを証明する.

母関数を $f(q,\alpha ,t)$ とするような正準変換 $(q_i,p_i) \to (q_i^{\prime },{\alpha }_i)$ を考えよう.

$$\begin{array}{ccc}\hfill S& =\hfill & \int (p_{i}d{q}_i-H(q,p,t\left)dt\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & \int ({\alpha }_{i}d{q}_i^{\prime }-H^{\prime }(q^{\prime },\alpha ,t\left)dt\right)+\int d\left(f\right(q,\alpha ,t)-{\alpha }_i{q}_i^{\prime })\hfill \\ \hfill & =\hfill & \int \left\{\frac{\partial f}{\partial q_i}d{q}_i-\left(H^{\prime }-\frac{\partial f}{\partial t}\right)dt+\left(\frac{\partial f}{\partial {\alpha }_i}-q_i^{\prime }\right)d{\alpha }_i\right\}\hfill \end{array}$$