速度の変換

今, 物体 $P$ が点 $A$ から点 $B$ へ運動をしたとしよう. $K$ 系において, 点 $A$ の座標を

$$(x,\hspace{0.17em}t)$$

とする. 物体 $P$ が時間 $\Delta t$ の間に $\Delta x$ だけ動いたとすれば, 点 $B$ の座標は

$$(x+\Delta x,\hspace{0.17em}t+\Delta t)$$

と書ける. つまり $K$ 系における物体 $P$ の速度 $v$ は

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

である.

同様に, $K_0$ 系において考えよう. 点 $A$ の座標は

$$(x_0,\hspace{0.17em}{t}_0)$$

とする. 物体 $P$ が時間 $\Delta t_0$ の間に $\Delta x_0$ だけ動いたとすれば, 点 $B$ の座標は

$$(x_0+\Delta x_0,\hspace{0.17em}{t}_0+\Delta t_0)$$

と書ける. つまり $K_0$ 系における物体 $P$ の速度 $v_0$ は

$$v_0=\frac{\Delta x_0}{\Delta t_0}$$

である. 座標系 $K$ , $K_0$ それぞれにおけるこれらの量は, 今の段階では互いに無関係だが, $A$ , $B$ 各点においてそれぞれ Lorentz変換によって結びつけれられる.

点 $A$ におけるLorentz変換は

  $$\begin{array}{ccc}\hfill x& =\hfill & \frac{x_0+V{t}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\hfill \\ \hfill t& =\hfill & \frac{t_0+\frac{V}{c^2}{x}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\text{ …(1)}\hfill \end{array}$$

点 $B$ は

  $$\begin{array}{ccc}\hfill x+\Delta x& =\hfill & \frac{(x_0+\Delta x_0)+V(t_0+\Delta t_0)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\hfill \\ \hfill t+\Delta t& =\hfill & \frac{(t_0+\Delta t_0)+\frac{V}{c^2}(x_0+\Delta x_0)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\text{ …(2)}\hfill \end{array}$$

なので, (2)から(1)を引けば, 位置の変化量及び時間のLorentz変換

    $$\begin{array}{ccc}\hfill \Delta x& =\hfill & \frac{\Delta x_0+V\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\text{ …(3)}\hfill \\ \hfill \Delta t& =\hfill & \frac{\Delta t_0+\frac{V}{c^2}\Delta x_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\text{ …(4)}\hfill \end{array}$$

を得る. (3)を(4)で割って

$$\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\Delta x_0+V\Delta t_0}{\Delta t_0+\frac{V}{c^2}\Delta x_0}=\frac{\frac{\Delta x_0}{\Delta t_0}+V}{1+\frac{V}{c^2}\frac{\Delta x_0}{\Delta t_0}}$$

ここで $K$ 系, $K_0$ 系それぞれにおける物体 $P$ の速度 $v$ , $v_0$ を用いれば, 速度の座標変換

$$v=\frac{v_0+V}{1+\frac{V{v}_0}{c^2}}$$

を得る.

ここで, 後で使う式を挙げておこう.

$$1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{(1-v_0^2/c^2)(1-V^2/c^2)}{{(1+V{v}_0/c^2)}^2}$$

特に $V=v_0$ のとき

$$1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{{(1-v_0^2/c^2)}^2}{{(1+v_0^2/c^2)}^2}$$

座標系間の運動と垂直な方向においては(3)にある位置の変化量とは異なり

$$\Delta y=\Delta y_0$$

である. 従ってこれを(4)で割れば

$$v_y=\frac{v_{y0}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{V{v}_{x0}}{c^2}}$$

となる. 便宜上 $x$ 方向, $y$ 方向と添字を付けた.

因みに加速度の座標変換は

$$\begin{array}{ccc}\hfill a_x& =\hfill & \frac{{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)}^{3/2}}{{\left(1+\frac{V{v}_{x0}}{c^2}\right)}^3}{a}_{x0}\hfill \\ \hfill a_y& =\hfill & \frac{1-\frac{V^2}{c^2}}{{\left(1+\frac{V{v}_{x0}}{c^2}\right)}^3}\left(a_{y0}-\frac{V{a}_{x0}}{c^2}{v}_{y0}\right)\hfill \end{array}$$