時間の遅れ

ロケット( $K_0$ 系)には, その進行方向と垂直な方向に往復する光時計が設置されている. 「光時計」とわざわざ名前が付いているが, 単に光線を往復させるだけのことである.

$K_0$ 系, $K$ 系ともに光の往復時間を求め, その違いを見てみよう. 尚, ロケットの床から天井までの長さを $K$ 系, $K_0$ 系共に変わらず $L$ であるとする. これは空間の線形独立性の現れであるのだが, この仮定で不整合な部分が生じれば修正すれば良いだけの事だ.

まずロケットに固定されている $K_0$ 系での光線の振る舞いを考えよう. 光線の往復時間 $t_0$ は

  $$t_0=\frac{2L}{c}\text{ …(1)}$$

である.

一方, 座標系 $K$ においては, 光線はロケット進行方向に傾いて進行していく. 三平方の定理を用いて

$${\left(c\times \frac{t}{2}\right)}^2=L^2+{\left(V\times \frac{t}{2}\right)}^2$$

という式が成り立つ. これを $t$ について解けば

  $$t=\frac{2L}{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\text{ …(2)}$$

を得る. (1), (2) を比較すれば, $K$ 系, $K_0$ 系それぞれにおける光線の往復時間 $t$ , $t_0$ の関係は

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$$

となる事が分かる.

大小関係を見れば

$$t\geqq t_0$$

つまり $K_0$ 系では 1 秒間で起こる現象を $K$ 系で観測すると, それ以上の時間を掛けていることになる.