Lorentz変換

$K$ 系における座標を $x,\hspace{0.17em}t$ , $K_0$ 系における座標を $x_0,\hspace{0.17em}{t}_0$ と表す.

前項より, $K_0$ 系における同時刻線 $t_0=0$ 上の点 $(x_0,\hspace{0.17em}0)$ は, $K$ 系において直線

$$t=\frac{V}{c^2}x$$

上にあることが分かった. 具体的に座標値を求めよう. $t=0$ のとき $x=\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\hspace{0.17em}{x}_0$ であった位置から, 速度 $V$ で時間 $\frac{V}{c^2}x$ の間だけ移動したことから

$$x=\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\hspace{0.17em}{x}_0+V\times \frac{V}{c^2}x$$

これを $x$ について解くと

$$x=\frac{x_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$$

となるので, $K_0$ 系における座標 $(x_0,\hspace{0.17em}0)$ は

$$(x,\hspace{0.17em}t)=(x,\hspace{0.17em}\frac{V}{c^2}x)=\left(\frac{x_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} , \frac{\frac{V}{c^2}{x}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)$$

となる.

また, $K_0$ 系における固定された点 $x_0=0$ の座標 $(0,\hspace{0.17em}{t}_0)$ は $K$ 系では

$$(x,\hspace{0.17em}t)=(Vt,\hspace{0.17em}t)=\left(\frac{V{t}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} , \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)$$

以上を合わせれば, $K_0$ 系の座標 $(x_0,\hspace{0.17em}{t}_0)$ は

$$(x,\hspace{0.17em}t)=\left(\frac{x_0+V{t}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} , \frac{t_0+\frac{V}{c^2}{x}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)$$

こうして Lorentz 変換

$$\begin{array}{ccc}\hfill x& =\hfill & \frac{x_0+V{t}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\hfill \\ \hfill t& =\hfill & \frac{t_0+\frac{V}{c^2}{x}_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\hfill \end{array}$$

を得る.