長さの縮み

H19/7/5

光時計をロケットの進行方向に沿って設置し, 光線をロケットの先端と後端を往復させ, ロケットの長さを測るとする.

まずロケットに固定された $K_{0}$ 系において, ロケットの長さ $L_{0}$ は往復時間を $t_{0}$ とすると

$L_{0} = \frac{c t_{0}}{2} …(1)$

となる.

これを $K$ 系で見てみよう. 以下の $t$ - $x$ グラフで分かるように, 光時計は運動しているために往路と復路で経過時間が異なる.

まず往路を計算しよう. $K$ 系におけるロケットの長さを $L$ , 往路の経過時間を $t_{1}$ として

$c t_{1} = L + V t_{1}$

これを $t_{1}$ について解けば

$t_{1} = \frac{L}{c - V}$

同様に復路の経過時間を $t_{2}$ とすれば

$c t_{2} = L - V t_{2}$

なので, $t_{2}$ について解き

$t_{2} = \frac{L}{c + V}$

こうして $K$ 系における光線の往復時間 $t = t_{1} + t_{2}$ は

$t = \frac{2 c L}{c^{2} - V^{2}}$

よってこれを $L$ について解けば

$L = \frac{c t}{2} (1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}) …(2)$

(1), (2) 及び $K_{0}$ 系と $K$ 系の間における時間の遅れの関係式 $t_{0} = \sqrt{1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}} t$ より

$L = \sqrt{1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}} L_{0}$

を得る.

$L_{0}$ は物体が静止しているときの長さであり, $L ≦ L_{0}$ なので, 運動物体の長さは静止時よりも縮んでいることが分かる.