同時刻の相対性

H19/7/5

$K_{0}$ 系の原点からロケットの進行方向に沿って $- L_{0}$ , $L_{0}$ の距離だけ離れた位置に測定器を設け, 原点から光線を放つ.

$K_{0}$ 系においては, 前後共に光線が同時に計測され, その経過時間は共に

$\frac{L_{0}}{c}$

である.

一方, $K$ 系においては後方が先に計測し, その後前方が計測する. 光線の放射した瞬間を座標の原点にとれば, 後方で計測されたときの位置及び時刻は

$(x_{b}, t_{b}) = (- \frac{c L}{c + V}, \frac{L}{c + V})$

であり, 前方は

$(x_{f}, t_{f}) = (\frac{c L}{c - V}, \frac{L}{c - V})$

である. ここで長さの縮み $L = \sqrt{1 - V^{2} / c^{2}} L_{0}$ を考慮に入れている. これは $K_{0}$ 系において同時刻で起こった事象が, $K$ 系においては $t$ - $x$ グラフで

$\frac{t_{f} - t_{b}}{x_{f} - x_{b}} = \frac{\frac{L}{c - V} - \frac{L}{c + V}}{\frac{c L}{c - V} - (- \frac{c L}{c + V})} = \frac{V}{c^{2}}$

という傾きを持っていることを意味する. 上の場合, 具体的には

$t = \frac{V}{c^{2}} x + \frac{L}{c}$

が $K_{0}$ 系の同時刻線である.