Newton重力とSchwarzshild半径

tomocci

平成16年8月12日

ブラックホールで御馴染みのSchwarzshild半径をNewton重力からも導き出せるという話があるが、実は導かれない事を説明する.

1.  Schwarzshild半径

一般相対論による, 重力場の4次元時空における3次元球対称な外部解

$${\left(ds\right)}^2=\left(1-\frac{r_g}{r}\right){\left(dt\right)}^2-{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)}^{-1}{\left(dr\right)}^2-r^2{\left(d\theta \right)}^2-r^2{\sin }^2\theta {\left(d\phi \right)}^2$$

は有名である. ここで $t,\hspace{0.17em}r,\hspace{0.17em}\theta ,\hspace{0.17em}\phi$ はそれぞれ時刻, 動径方向, 経度方向そして緯度方向を表すパラメーターである. $G$ はNewtonの万有引力定数で, $M$ は重力源の質量である. この

$$r_g=\frac{2GM}{c^2}$$

はSchwarzshild半径と呼ばれ, この半径より内側からはたとえ光速でも $r_g$ の外側へ抜け出せる事は出来ない. Schwarzshild半径は事象の地平面の一例である.

これはNewtonの重力理論では導かれないはずのものなのだが, なぜかこれをNewton力学から導出出来るという話がある.

2.  Newton力学

どういうことかと言うと, どうも"最高速度である光速度でも脱出できない"という部分に着目し, 光速で運動する粒子の振る舞いを考えるらしい. 実際に計算してみよう.