反発係数と力積

tomocci

平成17年9月21日

高校物理にある反発係数の式はとってつけたように現れる. 勿論現象論的な概念なのでそれは当然のことなのだが, これを保存則などから素朴に考えてみたい.

1.  エネルギー損失

簡単のため, 物体1が物体2に追いついて衝突するという状況を考える. つまりそれぞれの速度 $v_1,\hspace{0.17em}{v}_2$ の関係は $v_1>v_2$ であり, 衝突後の速度 $v_1^{\prime },\hspace{0.17em}{v}_2^{\prime }$ は $v_1^{\prime }\le v_1,\hspace{0.17em}{v}_2^{\prime }\ge v_2,\hspace{0.17em}{v}_1^{\prime }\le v_2^{\prime }$ となるような設定となっている. 物体1が受ける力積の大きさを $𝒥$ と置けば, 2体は孤立系なので, 運動量の変化は

  $$\begin{array}{ccc}\hfill m_1{v}_1^{\prime }-m_1{v}_1& =\hfill & -𝒥\hfill \\ \hfill m_2{v}_2^{\prime }-m_2{v}_2& =\hfill & +𝒥\text{ …(1)}\hfill \end{array}$$

となる. これより運動エネルギーの増分 $\Delta K$ は

$$\begin{array}{ccc}\hfill \Delta K& =\hfill & \left(\frac{1}{2}{m}_1{v_1^{\prime }}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v_2^{\prime }}^2\right)-\left(\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & -𝒥\left((v_1-v_2)-\frac{𝒥}{2\mu }\right)\hfill \\ \hfill & \le \hfill & 0\hfill \end{array}$$

ここで $\mu$ は換算質量  ${\mu }^{-1}=m_1^{-1}+m_2^{-1}$  である. 運動エネルギーの損失の式から得られる力積に関する条件式は

$$0\le \frac{𝒥}{2\mu }\le v_1-v_2$$

となる. これは任意の正の数 $v_1-v_2$ に対して成立するので

$$𝒥=2\mu (v_1-v_2)ϵ$$

と置くことが出来る. $ϵ$ は定数とは限らない任意関数で

  $$0\le ϵ\le 1\text{ …(2)}$$

の範囲をとる.