大型電機店など様々な店舗でポイントカードが作られている。店側としては自店を再び利用して貰うことが目的であろうが、客として気になるのは最も得するポイント利用の仕方であろう。本稿では以下の簡素化された条件
で調べていこう。ポイントを「使う派」は毎回ポイントを全額利用する。ポイントを「貯める派」は、貯まったポイントが金額に等しいか超えた場合に利用する。
「使う派」は単純な等比数列の和をもう一度足し合わせれば任意の買い物回数での値が出せる。「貯める派」は、例えば 10% のポイントであれば10回分の金額で11回分の買い物が出来ると考えればよい。
さて、無限回買い物するのであるならば計算せずとも結論は見出せる。ポイントを「いつ利用するか」という問題なので、無限に行えば両者は一致する。
興味があるのは有限回の買い物でどうなるかだ。数式を出しても仕方がないのでグラフで表そう。横軸に買い物回数を、縦軸に購入費用の平均を表すと、以下のようになる。
ここで平均とは、１回目からその時までの平均を意味する。無限回の買い物で、確かにどちらも 1/(1+0.1) = 0.9090... へと収束していく。
実際の買い物は金額が一定でないため上の限りではないが、参考にしては如何であろうか。