近日点移動

tomocci

平成18年3月13日

Schwarzshild計量における質点の運動を近似から求め, 近日点移動を計算する. 本稿もLandau¥cite{landau:1994aa:bk}に基づく.

1.  Schwarzshild時空

一般相対論的な質量 $m$ の質点の運動を記述する作用は, 計量を

  $$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }\text{ …(1)}$$

として

$$S=-m\int ds$$

で与えられる. 変分

$$\begin{array}{ccc}\hfill \delta S& =\hfill & \left. -m{g}_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}\delta x^{\mu }\right|-m\int \left\{\frac{d}{ds}\left(-g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}\right)+\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \rho }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}\frac{d{x}^{\rho }}{ds}\right\}\delta x^{\mu }ds\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left. -m{g}_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}\delta x^{\mu }\right|+m\int g_{\mu \nu }\left(\frac{d^2{x}^{\nu }}{d{s}^2}+{\Gamma }^{\nu }{}_{\rho \sigma }\frac{d{x}^{\rho }}{ds}\frac{d{x}^{\sigma }}{ds}\right)\delta x^{\mu }ds\hfill \end{array}$$

によって測地線の方程式が得られるが, ここでは運動量

$$p_{\mu }=-m{g}_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}=(-E,\mathit{p})$$

に着目しよう. 運動量は(1)から

  $$m^2=g^{\mu \nu }{p}_{\mu }{p}_{\nu }\text{ …(2)}$$

を満たす.

(1)の具体的な形として, Schwarzshild時空

  $$d{s}^2=fd{t}^2-f^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)\text{ …(3)}$$