Noetherの定理とエネルギー運動量テンソル

tomocci

平成17年10月14日

Noetherの定理で現れる, 物質場の素朴なエネルギー運動量テンソルと, Einstein方程式における物質場のエネルギー運動量テンソルは定義が異なるものの同一の物理量として扱われる. 本稿は両者が定量的に等しい事をNoetherの定理の立場からスカラー場とベクトル場に対して確かめた.

1.  最小作用の原理

$n$ 次元時空(座標値 $x^{\mu }$ )及び内部自由度を持った場 ${\Phi }^a\left(x\right)$ を考える. 作用汎関数

  $$S=\int d^{n}x\hspace{0.17em}ℒ\left(\Phi \right(x),{\partial }_{\mu }\Phi (x\left)\right)\text{ …(1)}$$

は場の振る舞いが少しだけ違っていても, その値を変えない. 言い換えると, 実現される場は作用汎関数の停留値を与えることになる. これが最小作用の原理である.

本稿では変分という言葉を

• 現実の振る舞いからの仮想的なずれ
• 現実の振る舞いの範囲内における, 実際の微小変化量

という2つの意味で用いよう. 場の変分と合わせて, 作用汎関数は時空の座標値 $x^{\mu }$ の採り方に依らないことから

  $$S^{\prime }=\int d^{n}y\hspace{0.17em}ℒ\left({\Phi }^{\prime }\right(y),{\partial }_{\mu }^y{\Phi }^{\prime }(y\left)\right)\text{ …(2)}$$

と $S$ は少なくとも1次の微小量の範囲で一致する.

以下の議論ではLagrangianには場の高々1階微分までが含まれているとし, 2次以上の微小量は無視する.