質量を持ったばねの波動方程式

tomocci

平成17年9月10日

弦の波動方程式で気を良くしたので, 今度は質量を持ったばねの波動方程式を求めてみることにした.

1.  導出

質量 $m$ , 自然長 $l$ のばねを天井に固定し, 下端に質量 $M$ の錘を付ける. この系の模型を立てよう. 質量のない, 自然長が $l_i=l/N$ でばね定数が $k_i=Nk$ の微小なばねを, 質量 $m_i=m/(N-1)\cong m/N$ の微小な質点で繋いでいくことによって, 質量のあるばねを記述する事にする. 微小質点と錘に対して運動方程式を立て, $N\to \infty$ の極限をとる.

変位を ${\phi }_i\left(t\right)=\phi (x,t)$ とおけば, 微小質点の運動方程式は

$$\begin{array}{ccc}\hfill m_i{\ddot{\phi }}_i& =\hfill & -k_i({\phi }_i-{\phi }_{i-1})-k_i({\phi }_i-{\phi }_{i+1})-m_{i}g\hfill \\ \hfill & =\hfill & k_i\left\{\right(l_i{\phi }_i^{\prime }+\frac{l_i^2}{2}{\phi }_i^{\prime \prime })+(-l_i{\phi }_i^{\prime }+\frac{l_i^2}{2}{\phi }_i^{\prime \prime }\left)\right\}-m_{i}g+𝒪\left(l_i^3\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & k_i{l}_i^2{\phi }_i^{\prime \prime }-m_{i}g+𝒪\left(l_i^4\right)\hfill \end{array}$$

こうして

  $$\frac{{\partial }^2\phi (x,t)}{\partial t^2}-\frac{k{l}^2}{m}\frac{{\partial }^2\phi (x,t)}{\partial x^2}=-g\text{ …(1)}$$

を得る. 一方, 錘についての運動方程式は

$$\begin{array}{ccc}\hfill M{\ddot{\phi }}_N& =\hfill & -k_i({\phi }_N-{\phi }_{N-1})-Mg\hfill \\ \hfill & =\hfill & -k_i{l}_i{\phi }_N^{\prime }-Mg+𝒪\left(l_i^2\right)\hfill \end{array}$$

となり, 下端における境界条件

  $$\frac{{\partial }^2\phi (l,t)}{\partial t^2}+\frac{kl}{M}\frac{\partial \phi (l,t)}{\partial x}=-g\text{ …(2)}$$

を得る. 上端に関しては

  $$\phi (0,t)=0\text{ …(3)}$$

である.