ジャンボ宝くじで当たる確率

イントロダクション

当せん金付証票法第五条

当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。

によれば、発売総額の 50 % 以下が当籤金として充てられるとのことである。

つまりみんなで 300 円ずつ出し合って、半分は運営側に渡り、もう半分を、ほんの一握りの人間に配分するという仕組みだ。

さてその配分であるが、自分の手元にくる確率は当然知りたいことであろう。いや、あまり知りたくないかもしれないが。

ということで実際に求めてみよう。

確率

計算の前提

該当ページは消えてしまったが（何故残しておかないのだろうか…）、みずほ銀行のドリームジャンボ宝くじページのトピックにあった数値：

これらおよび当籤金の配分率 49.66 % (こういう数値も消えてしまった…) から、くじの発行枚数は 270,000,000 枚 (配分率 : 49.6633...%) と思われる。

確率計算の前提として

• 一回につき10枚購入する
• 連番に伴う前後賞等の確率は考えない
• 5等の3,000円、6等の300円は外れとする

を考える。3番目の項目は、10枚つまり3,000円分購入するに際して3,000円以下の当籤を当たりと見なしても仕方がないからである。29,700,000本、16,200,000,000円の当籤は潔く外れとする。

1万円以上当たる確率

以上の前提のもとで、購入1回当たりの確率は

という結果を得る。確率計算の根拠は、次の節で解説する。

さて、この低確率を懲りずに何度も買い続けるとしよう。ずっと外れ続けて初めて当たる確率は、以下の通りだ。

これをグラフにすると…

このように20回買い続ければ、1万円以上当たる確率は 7 % に近い値となる。6万円出して 7%弱だ。この数値を高いと見るか低いと見るかは自由だ。

100万円以上当たる確率

ちなみに100万円以上当たる確率のグラフは以下の通り。（目盛り感覚が中途半端なのはご愛敬…）

宝くじは「夢を買う」ものだ。毎回買い続ければ、きっと何かが当たる。少なくとも誰かが必ず当たっているのだから、いつかはそれが自分かもしれない。

数式

計算するのは

• $N$ 枚発売されるくじに、
• $n$ 本当たりがあり、
• $x$ 枚ランダムに購入する ($x<n,\ x<N-n$)

ときの当籤確率である。外れくじは $N-n$ 本あるので、外れる確率 $q$ は

\[ q = \frac{{}_{N-n}\mbox{C}_{x}}{{}_{N}\mbox{C}_{x}} \]

ここで組み合わせの記号

\[ {}_{a}\mbox{C}_{b} = \frac{a!}{(a-b)!\ b!} \]

を用いた。従って、これを $k$ 回買って当たる確率 $P_k$ は

\[ P_k = 1-q^k = 1-\left( \frac{{}_{N-n}\mbox{C}_{x}}{{}_{N}\mbox{C}_{x}} \right)^k \]

となる。

近似

さて、本題から外れるが、今回のジャンボ宝くじのような場合 $n/N\ll 1$ 、もっと言ってしまえば $n/N$ 自体が無視できるくらい小さな値である。従って当然 $(n/N)^2 \sim 0$ としても十分な近似になる。従って

\begin{eqnarray*} \frac{{}_{N-n}\mbox{C}_{x}}{{}_{N}\mbox{C}_{x}} & = & \frac{(N-n)(N-n-1)\cdots (N-n-x+1)}{N(N-1)\cdots (N-x+1)}\\ & = & \frac{(1-\frac{n}{N})\cdots (1-\frac{n+x-1}{N})}{(1-\frac{1}{N})\cdots (1-\frac{x-1}{N})}\\ & \simeq & \left(1-\frac{xn+\frac{1}{2}x(x-1)}{N}\right)\left(1+\frac{\frac{1}{2}x(x-1)}{N}\right)\\ & \simeq & 1-\frac{xn}{N} \end{eqnarray*}

つまり当たる確率は

\[ \frac{xn}{N} \]

となる。これは余り面白くない結果で、$N$ 枚中 $n$ 枚が当たりで、１回当たりの当籤確率 $n/N$ を $x$ 回繰り返すので $xn/N$ になる、と言っているだけである。