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8. 接続係数の表式
この節では, で添字 の上げ下げを, で添字 の上げ下げをそれぞれ行うものとする.
微小平行移動に内積を保存するという条件を課そう. これは 即ち を意味し, 共変微分は計量と両立する(compatible)と言う. 計量 に を作用させれば
を得る. 今, のように に関して対称部分 と反対称部分 に分ければ, 上の関係式は
これを全ての添字に関して巡回的に置換し, 足し引きすれば が求まり,
を得る. ここで
で定義される をChristoffel記号と呼ぶ.
同様にして, の共変微分をとって得られる関係式
と捩率の定義に を乗じたもの
をやはり に関して巡回的に置換したものを足したり引いたりすれば
を得る.
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