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5. Lie微分
再び滑らかな曲線を考え, 曲線上の2点 におけるベクトル場 と の変化率を, 微小平行移動とは違った方法で定義しよう.
今度は 上のベクトル場 に等しい 上のベクトル場 を見つける. ここで "等しい" とは, 関数 に対して同一の値
を与えるという意味である.
座標基底を用いれば, 異なる2点における座標変換を考えればよいので
こうしてLie微分が
と定義される. 具体的に見てみると
これから , , そして などの性質を持つことが分かるであろう.
ところで, 関数 にベクトル場 を順に作用させると
のようになり, ベクトル場2つの作用は第2項目のためベクトル場とはならない. これを反対称化したものはベクトル場となる. 即ち, 交換子
はベクトル場となる. これはLie微分と一致する:
特に座標基底に対して となるので, 双対基底に対しては となる. よって双対ベクトル場に対するLie微分
を得る.
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