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2. 余接空間
に双対な空間(余接空間) を導入しよう. 双対という言葉は, 接空間のベクトル場(接ベクトル場)と余接空間のベクトル場(余接ベクトル場)の組を実数に対応付けられるという意味で用いている.
の基底 との間に, 内積
が定義される. 同様にして余接空間の座標基底 も導入しておこう.
3. 計量
計量テンソル場 を
のように定義する. ここで組 は, (+,+), (+, ), ( ,+) のいずれかの符号をとる. で表せば
これに対して計量の逆 も導入しておく.
座標基底を用いて としたときの もまた と同様に, 計量(計量テンソル場)と呼ばれる. 重力場と言うこともある. 明らかに
である. 計量の行列式は となる.
ベクトル場 の内積は
のように定義される. 双対ベクトル場 には計量によって で得られるベクトル場 が対応する. つまり双対ベクトル場 とベクトル場 の内積はベクトル場 の内積と同等である:
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