一般相対論の数学的準備など

tomocci

平成18年7月5日

曲がった時空における数学などを大雑把に導入する. 数学的に厳密な定義はしない. 微分形式やベクトル束にも触れない. また, 計算ミスはご愛敬.¥ 項目 : 接空間, 余接空間, 計量, 共変微分, Lie微分, 捩率と曲率, 接続形式の表式, 測地線の方程式, Einstein方程式, Newton近似.

1.  接空間

時空 $M$ を $n$ 次元C ${}^{\infty }$ 級微分可能多様体であると仮定する.

実数 $s$ で径数付けられた, $M$ 上の点 $p$ を通る滑らかな曲線を考える. $M$ 上の関数 $f$ の, 点 $p$ における方向微係数は

$${\left. \frac{d}{ds}\right|}_{p}f={\left. \frac{d{x}^{\mu }}{ds}{\partial }_{\mu }\right|}_{p}f$$

であるが, この写像

$$\mathit{X}{|}_p=X^{\mu }{\partial }_{\mu }{|}_p={\left. \frac{d{x}^{\mu }}{ds}{\partial }_{\mu }\right|}_p$$

を点 $p$ における接ベクトルとして定義する. 上記の場合 ${\partial }_{\mu }$ が基底で特に座標基底と呼ばれ, $X^{\mu }$ は座標基底における成分である. 本稿では, 座標基底を除いてベクトル及びテンソルを太字で表記する.

点 $p$ を通る滑らかな曲線が作る接ベクトルの集合は, ベクトル空間を成す. これを接空間 $T{M}_p$ と呼ぶ. $M$ 上の滑らかな関数 $F\left(M\right)$ に対して, 滑らかなベクトル $\mathit{X}\left(F\right(M\left)\right)$ が定義できる. これをベクトル場と呼ぶ.

$T{M}_p$ における基底を

$${\mathit{e}}_i=e_i^{\mu }{\partial }_{\mu }$$

とする. 任意のベクトル場 $\mathit{a}$ は $\mathit{a}=a^i{\mathit{e}}_i$ と書ける.