何回買えば揃う？

期待値

ランダムに当たる、$s$ 種類のオマケを全て揃えたい。まず、１回買えば必ずどれかは手に入る。このオマケを $A_1$ と名付けよう。次に、$A_1$ 以外のオマケを当てなければならないので、その確率は $\frac{s-1}{s}$ である。従って $\frac{s}{s-1}$ 回買えば $A_1$ 以外のオマケ $A_2$ が当たることになる。

このようにして、$A_3$ は $\frac{s}{s-2}$ 回、$A_4$ は $\frac{s}{s-3}$ 回・・・と次々に買えば当たることが分かる。勿論、$A_3$ などの名前は「以前に当たったオマケ以外のうちのどれか」を意味し、特定のどれかではない。結局 \[ \sum_{k=1}^{s}\frac{s}{k} \] を求めることになる。$s$ の大きなところでは $s( \gamma + \log (s) ) + 0.5 - \frac{1}{12s}$ に近似できる[1]。$\gamma = 0.57721\cdots$ は Euler 定数である。

以下にオマケの種類が 2 から 20 までの場合における、平均的な必要購入回数を表にした。この回数を多いと見るか少ないと見るか・・・。ちなみに上に挙げた漸近形は $\frac{1}{s}$ で冪展開したものだが、非常に高い精度で一致している。

分散、標準偏差

期待値の計算

試行回数が $\frac{1}{p}$ になるという部分をもう少し詳しく説明しよう。確率 $p$ の事象が $n$ 回目の試行で初めて起こる確率 $P(n)$ は、初めから $n-1$ 回は全て起こらずに $n$ 回目で漸く起こるので、 \[ P(n)=(1-p)^{n-1}p \] となる。従って期待値 $e$ \[ e=\langle n\rangle = \sum_{n=1}^{\infty}nP(n)=\frac{1}{p} \] が得られる。ちなみに、和の計算は $q=1-p$ と置いて $\sum nq^{n-1}=\frac{d}{dq}\sum q^{n}$ とすれば容易に求められる。

オマケを求める場合、この確率 $p$ が各回数で変わっていく。$s$ 種類のオマケがあるとき、各回の確率は $p_k=\frac{s-k}{s}$, ($k=0,1,\cdots,s-1$) あるいは添字の順番を変えて \[ p_k=\frac{k}{s}\ ,\ \ (k=1,2,\cdots, s) \] となる。従って全体の期待値 $E$ は \[ E=\sum_{k=1}^{s}\frac{1}{p_k}=\sum_{k=1}^{s}\frac{s}{k} \] で得られる。

分散、標準偏差

以上の話は飽くまでも期待値を評価しただけなので、少々不十分である。揺らぎがどれだけあるのかを気にしなければならないのである。揺らぎは標準偏差、つまり分散の平方根で与えられる。

各回の分散は、期待値の計算と同様に求められる。まず $\langle n^2\rangle$ は

\[ \langle n^2\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} n^2P(n)=\frac{2-p}{p^2} \] これは $pq\frac{d^2}{dq^2}\sum q^n = \langle n^2\rangle -\langle n\rangle$ などから得られる。

よって各回の分散 $v$ は \[ v = \langle n^2\rangle - \langle n\rangle^2 = \frac{1-p}{p^2} \] となる。よって、全体の分散 $V$ はこれの和をとればよく、 \[ V=\sum_{k=1}^{s}\frac{1-p_k}{p_k{}^2}=\sum_{k=1}^{s}\frac{1-(k/s)}{(k/s)^2}=s^2\sum_{k=1}^{s}\frac{1}{k^2}-s\sum_{k=1}^{s}\frac{1}{k} \] この平方根が標準偏差となる。

以下に期待値と標準偏差を載せておく。一番右端の数字は、オマケをコンプリートするために必要な購入回数の大凡の上限値である。

参考文献

1. 分割数の漸近挙動